Numero e Cifra

Per iniziare, stabiliamo alcuni punti fermi a cui molti non hanno mai prestato la dovuta attenzione. Prima di tutto è indispensabile che vengano fatte alcune precisazioni sui termini "numero" e "cifra" che noi correntemente usiamo in modo improprio. 
Se scrivo :

150

ho scritto il numero centocinquanta, composto dai segni grafici 1, 5 e 0, che sono le cifre, ovvero i segni con cui rappresento i numeri, e che, per l' esattezza, sono quelle che noi chiamiamo cifre arabe-indiane e che usiamo comunemente. 
Con un altro esempio, se scrivo :

9

ho scritto la cifra 9 che rappresenta il numero nove.

Dunque, correttamente, dobbiamo usare la parola "numero" per la quantità e la parola "cifra" per il segno che usiamo per indicare il numero. 

Per curiosità, la parola "cifra" deriva dall' arabo أَلصِّفْر as-sifr.

Questa distinzione appare pedante, ma è un grave errore considerarla tale. E', invece, fondamentale per capire che cosa siano i sistemi numerici non decimali, come il binario, l' ottale, l' esadecimale. 
E, perchè no, anche il decimale, che usiamo ogni giorno, ma di cui sappiamo proprio ben poco.

Cifre e sistemi di rappresentazione del numero

Vediamo subito dove stiamo andando a parare attraverso qualche esempio. 

Per noi 150 è molto chiaro : se siamo alla cassa del supermercato, tiriamo fuori tre banconote da 50; o una da 100 e una da 50; o due da cento (e ci aspettiamo una da 50 di resto).
Se fossimo stati Caio Sempronio, al tempo di Cesare, al mercato,  sulla tavoletta cerata, il bottegaio ci avrebbe scritto :

Oggi, al massimo, è la sigla della provincia di Caltanisetta;  per il romano era chiaro che CL indicava 150 (sesterzi, carote, soldati, pecore, cittadini, ecc). Che cosa è successo ?

Semplicemente, all' epoca di Cesare le cifre, ovvero i segni per indicare i numeri, erano differenti dalle nostre. 

E ancor più differenti lo sarebbero se fossimo stati sumeri, babilonesi, egizi, greci o cinesi. 
Così come la scrittura di sumeri, egiziani, greci, cinesi è per noi incomprensibile, perchè usano segni grafici diversi dai nostri, che non possiamo capire. A meno che ne abbiamo fatto oggetto di studio.

Dunque, dovrebbe essere evidente che un "numero", ovvero l' indice di una certa quantità (di cose, di fatti, di oggetti) è stato e può essere rappresentato con diverse scritture, con diverse "cifre".
Questo lo dobbiamo ricordare : ci servirà più avanti.

E non c'è nulla di strano:  ancora oggi popoli come quelli cinese e giapponese scrivono le cifre che indicano i numeri in modo molto differente dalle nostre Possiamo fare una piccola tabella di confronto con quelle che usavano i romani e con quelle che usiamo noi :

Nelle cifre degli antichi, se le osserviamo con cura, troviamo una matrice comune : queste cifre sono essenzialmente degli ideogrammi, ovvero sono segni che cercano di rappresentare l' oggetto, la sua natura (lo sono pure le nostre, anche se non ci sembra, perchè nel tempo sono passate tra le mani di molti popoli e culture e modificate ripetutamente).
Ma non formalizziamoci sulla stranezza dei segni grafici, non è questo che ci interessa ora. 
Osserviamo, invece, come le cifre romane e quelle orientali utilizzino semplicemente un segno grafico che ricorda la quantità. Questo è immediato da capire nelle prime tre cifre : uno è semplicemente un trattino, due sono due trattini. Ma anche nelle altre permane, pure se più astrattamente: ad esempio, il cinque romano (V) è il simbolo di una mano aperta, cinque dita; il sei (VI) è una mano aperta più un dito. Il dieci (X), le due mani aperte.

Ci si può chiedere perchè questo. 
Nell' antichità il modo di pensiero era differente, non certo più primitivo come ritiene qualcuno, ma differente. Non c'era la necessità, che ci siamo costruita, di avere tutto sotto forma di numero. Il numero riguardava principalmente il contare le quantità.
Il pastore contava le pecore, una, due, tre, ecc, e per ognuna faceva un segno su una pietra, su una tavoletta di legno e i segni erano:

Quando i segni diventano tanti, diventa molto difficile percepire la quantità che rappresentano solo guardandoli : bisogna ricontarli. Allora il pastore sbarrava i segni a gruppi :

come i prigionieri senza calendario tengono conto del passare dei giorni incidendo le pareti della cella.
Ora è più facile leggere le quantità : ogni gruppo vale cinque unità, conto i gruppi e moltiplico. Perchè, dovrebbe essere evidente, le cifre scritte servono per rappresentare delle quantità, dei numeri; e meglio e più leggibilmente le rappresento, meglio le potrò utilizzare.

Ma i gruppi di trattini barrati  non è ancora un metodo molto soddisfacente: devo raggruppare i trattini, barrare, e poi per rileggerli devo contare i gruppi, moltiplicare. Poco pratico se c'è molto da contare, come in un mercato, in una amministrazione pubblica, in un esercito.

Il nostro pastore, a forza di contar pecore, nel frattempo si è addormentato, ma anche altri hanno la necessità di contare e qualcuno inizia a dire: "Bene, ogni gruppo di cinque, invece di rappresentarlo così IIIII, visto che è una "mano" di cinque dita, lo rappresento così V, ideogramma della mano aperta che mostra le cinque dita. E due mani si incrociano e fanno dieci (dita) e segno così: X...". 
E così via per ideando segni che raccolgono in un solo simbolo grafico l' idea di un numero, anche grande.

Fanno questo non solo i romani, ma anche i Maya, i cinesi, gli egizi...

Così cinque, invece di essere segnato come IIIII  diventa V ;  IIIII  IIIII diventa X.
E trentacinque non è IIIII  IIIII  IIIII IIIII  IIIII IIIII  IIIII , ma diventa XXXV. Molto più immediato da leggere.

Da notare che altri popoli seguono una via assai diversa: abbiamo aggiunto nella tabella precedente anche le cifre che hanno usato i greci antichi della ionia e quelle che usano ancora oggi gli ebrei. 
Si tratta di una pratica comune a molti popoli dell' area medio orientale, ovvero usare i simboli delle lettere dell' alfabeto come cifre numeriche.  Come se noi dicessimo A = 1, B = 2, C =3, per cui, invece di 123, scriviamo ABC.

Anche questo esempio va ricordato, perchè ci servirà più avanti parlando dell' esadecimale.

Teniamo anche presente, per curiosità, ma non solo, che culture diverse dalla nostra hanno sviluppato un pensiero matematico differente. 
Ad esempio un giapponese, se deve dire "uno" riferito a un PC o un' auto dirà IchiDay, ma se indica un uccello dirà IchiWa, Hitori per una persona , IssaTsu per un libro e Ippiki per un pesce: nel numero comprende una classificazione della cosa contata. 
E così per altre culture, che contano per ventine o in base a sessanta o addirittura in binario: non è stranezza, è esempio della varietà di modi con cui la mente affronta i problemi che incontra.

Sistemi di numerazione

Non ci occupiamo di come contavano i babilonesi o altri popoli antichi o orientali e di come si sono sviluppate le cifre e il pensiero matematico, perchè, anche se argomento affascinante, ci porterebbe fuori strada.
Piuttosto ritorniamo al romano Caio Sempronio, con un esempio a noi vicino, per farci capire come il "far di conto" non sia una cosa data per scontato, ma il risultato di un certo processo.
Caio Sempronio usava ovviamente le cifre romane:

Per scrivere 2010, avrebbe inciso sulla sua tavoletta MMX (M=1000 + M=1000 + X=10).
Per scrivere 115 avrebbe inciso CXV (C=100 + X=10 +V=5).

Vediamo che il sistema romano è un sistema che utilizza un numero ridotto di cifre e forma la rappresentazione di numeri complessi sommando queste cifre: è un sistema che si definisce "additivo".

Ovvero, X vale dieci e XXX vale dieci + dieci + dieci e CX vale cento + dieci, e così via.

Ci si può rendere subito conto che con un simile sistema fare operazioni anche solo aritmetiche diventa notevolmente complesso. Il sistema di somma in colonna, ad esempio, per noi così usuale  e comodo con le nostre cifre, diventa improponibile se se cerchiamo di replicarlo con quelle romane :

Il risultato è MMMCLXIV , ma vedete bene che la somma in colonne non può proprio funzionare con le cifre romane. E così pure le altre operazioni aritmetiche. E senza un modo efficiente per applicare queste operazioni non si va molto in là.. 

E perchè, invece , con il nostro sistema di cifre, la cosa funziona ?

Semplicemente perche il nostro sistema non è additivo, ma posizionale.  Ovvero:

e questa è la grandiosa idea che gli antichissimi matematici indiani hanno sviluppato e che ha come punto di forza la cifra zero (0), che, come notiamo, nella numerazione romana non esisteva.

Per dare un esempio della differenza tra posizionale e additivo, prendiamo la cifra che indica il numero 1.
Caio Sempronio incideva I, noi usiamo 1. Del tutto simile.
MA...

Caio sempronio, quando scriveva  I I I, ripetendo tre volte il segno I, voleva intendere tre, ovvero I + I + I.

Se noi scriviamo tre volte la cifra uno,  111, intendiamo centoundici, ovvero una volta cento + una volta dieci + 1 volta uno.

Per Caio Sempronio, ovunque segnasse I nella sua serie di cifre, sempre 1 era. 

Per noi, la posizione nella serie attribuisce alla cifra un valore diverso. La cifra posizionale 1 cambia il suo valore a seconda della colonna in cui è scritta : nella prima vale il suo valore, nella seconda , vale dieci volte, nella terza, cento volte, e così via.