Decimali, Binari & C
Potenze e radici
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Un po' di matematica: le potenze
Però ci complichiamo un poco la vita parlando di potenze (cosa che si
può sembrare "strana" solo perché non si usano tutti i giorni,
almeno al di fuori degli ambienti scientifici e tecnici). Ma è necessario.
Applicare alla cifra un esponente è una via semplificata di scrivere
una moltiplicazione. Per esempio, se consideriamo la serie di moltiplicazioni:
ovvero la moltiplicazione di un numero 10 per se stesso 5 volte, possiamo
scriverla come:
Quindi, la moltiplicazione di un numero Z per se stesso n volte viene
espresso come potenza :
Zn = (Z * Z) n volte
Z è la base e n è l' esponente della potenza.
Possiamo anche dire Z alla n, o levare Z alla ennesima potenza.
Nell' esempio all' inizio, 10 è la base e 5
è l' esponente, per cui dirò: "dieci alla
quinta". Così:
| 2 alla terza |
= 23 |
= 2 × 2 × 2 |
= 8 |
| 10 alla quarta |
= 104 |
= 10 × 10 × 10 × 10 |
= 10000 |
| 8 alla settima |
= 87 |
= 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 × 8 |
= 2097152 |
Esistono, per coerenza, alcune regole:
- un
numero elevato alla prima potenza è uguale a se stesso. Ad
esempio, 81 = 8
- un numero elevato alla 0 è
uguale a 1. Ad esempio 80 = 1, ma anche 12143270
= 1
- 00 non è matematicamente definito
Chi non ha a che fare con la matematica, alla parola "radici"
oscilla tra Guccini e il mondo vegetale, ma, se pure interessanti, non sono queste le radici di cui
vogliamo parlare.
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Chiamiamo la "radice" di un
sistema di numerazione posizionale il numero che interviene nel cambio delle
colonne |
Nel sistema decimale questo numero è dieci. Posso indicare questo sistema
indicando il numero-radice, o base (numerazione in base 10) :
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127base10
356base10 10100base10
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Questo è quello che usiamo quotidianamente, ma non c'è solo
questa "radice": ce ne sono molte altre, un vero orto. Vediamo quelle
in uso nell' ambito che ci interessa, quello degli elaboratori elettronici.
In sostanza, radice
è un altro modo di chiamare la base delle potenze.
Prendiamo il numero millecentoundici, 1111:
Il nostro numero lo possiamo considerare come composto di potenze di 10, dato
che:
| 103 |
dieci alla terza o 10 al cubo |
è |
10*10*10 |
= |
1000 |
+ |
| 102 |
dieci alla seconda o dieci al quadrato |
è |
10*10 |
= |
100 |
+ |
| 101
|
dieci alla prima |
è |
10 |
= |
10 |
+ |
| 100 |
dieci alla 0 |
è |
1 |
= |
1 |
= |
|
|
|
|
------------- |
|
|
|
|
|
1111 |
|
e quindi:
1111 = (1*1000) + (1*100) + (1*10) + (1*1) =
= (1 * 103) + (1*
102) + (1*101) + (1* 100)
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Così pure:
12345 = 1*10000 + 2*1000 + 3*100 + 4*10 + 5*1 =
= 1*10^4 +
2*103 + 3*102 + 4*101 + 5*100 |
Aggiorniamo la tabella:
| ecc |
quarta
colonna |
terza
colonna |
seconda
colonna |
prima
colonna |
| ecc. |
MIGLIAIA |
CENTINAIA |
DECINE |
UNITA' |
| ecc. |
qui la cifra
vale per mille |
qui la cifra
vale per cento |
qui la cifra
vale per dieci |
qui la cifra
vale unità
|
| ecc |
cifra * 1000 |
cifra * 100 |
cifra * 10 |
cifra * 1 |
| ecc |
cifra * 103 |
cifra * 102 |
cifra * 101 |
cifra * 1*100 |
Certamente stiamo andando verso prodotti del pensare che possiamo dire
"astratti", ma è proprio questa
"astrazione" che ha dato origine ai calcolatori elettronici e se
vogliamo lavorare con loro, dobbiamo fare una sforzettino e far fare alla nostra
mente qualcosa di diverso dal solito.
Possiamo aggiungere che nei linguaggi di programmazione, uno speciale comando
(ad esempio RADIX per l' Assembly) stabilisce in quale base dovranno essere
considerati i numeri che appaiono nel listato.
Così:
RADIX dec
stabilisce una Base10 (base decimale) per la numerazione.
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