Sistemi non Decimali : l'ottale

Correntemente noi utilizziamo una matematica basata sul 10 e rappresentata dalle 10 cifre arabo-indiane: abbiamo dieci dita su cui contare. 

Immaginiamo ora che il nostro matematico, invece che un hindu, fosse un Na'vi di Pandora, il satellite del pianeta Poliphemus nel sistema di Alpha Centauri.  Le sue mani hanno 4 dita ognuna e quindi il suo limite di conteggio è otto e non dieci.

Davanti al suo abaco a buche, inizia a mettere i sassolini: uno, due, tre, ecc e, arrivato a sette, fa lo stesso ragionamento che fa il matematico indiano con il nove. Arrivato alle otto dita delle mani, svuota la prima buca e mette  un sassolino nella seconda a indicare "una volta le dita delle mani"(che sono 8). 

Con sette sassolini nella seconda e sette nella prima, svuota le due buche e mette un sassolino nella terza, a indicare 8 volte le otto dita delle mani; e così via.

Il suo sistema basato sull' otto e non sul dieci, utilizza otto cifre (sette per le quantità e lo zero per la buca vuota).
Ha ideato il sistema ottale, ovvero un sistema di conteggio analogo a quello decimale, con le stesse regole, ma basato sull' otto invece che sul dieci.

Così, aggiorniamo la tabella per l' ottale:

dato che il passaggio da colonna a colonna va per potenze di 8 ( 1, 8, 64, 512, 4096, ecc).  
Quindi, supponendo che per comodità il matematico Na'vi utilizzi le cifre arabo-indiane, quando scrive :

        125

intende :

 che posso anche esprimere come:

125 = (1 * 64) + ( 2 * 8) +  (5 * 1) = ( 1 * 8²) + ( 2 * 8¹) + (5 * 8⁰)

o anche, ricordando cosa abbiamo detto delle radici

125 _base8 = 1 × 8² + 2 × 8¹ + 5 × 8⁰ = 64 + 16 + 5 = 85_{base 10}

Se volete, potete esercitarvi a scrivere altri numeri ottali. Qui non proponiamo altri esercizi, che ognuno potrà crearsi da sè, se ha capito di cosa si sta parlando; perchè proprio questo e non la meccanicità del sistema è quello che interessa.

Evidentemente non sarà possibile scrivere in ottale 8 o 129 o 938 in quanto 

nel sistema ottale solo le cifre dall' 1 al 7 e lo zero sono possibili.

La tabella seguente riporta alcuni esempi :

Ancora ripetizioni per chiarire con sicurezza: dopo il 7 nella tabella viene il 10.
Nella prima colonna 7 sassolini; se devo aggiungerne 1 raggiungo il limite, che è otto. Quindi svuoto la buca (0) e metto un sassolino nella buca successiva (1) per indicare che ho in conto una volta otto dita + nessun dito.
Il numero successivo sarà 11: 1 volta otto dita + 1 dito e così via.
A 17 e dovendo sommare 1, avrò 2 sassolini nella seconda buca (contate 2 volte le 8 dita delle mani) + 0 dita, quindi 20. E così via.

Per vedere all' opera un sistema ottale non è necessario andare su Pandora, ma basta osservare come alcuni dei primi calcolatori, ad esempio i famosi PDP di Digital erano basati proprio su questo sistema. Anche attualmente l'ottale è utilizzato a volte nei computer invece dell'esadecimale poiché ha il vantaggio di non richiedere simboli extra oltre alle cifre indiane-arabe.  Ne è prevista l' utilizzazione nei vari linguaggi di programmazione (Assembly, C, Perl, PostScript, ecc).

Forti di quanto finora detto, possiamo ricapitolare e presentare un modo per interpretare gli ottali che ci servirà per proseguire.

Il sistema ottale è 

• un sistema di numerazione: cifre rappresentano numero secondo certe regole
• è un sistema di numerazione posizionale: le cifre hanno valore diverso a seconda della posizione nel numero
• è basato sull' otto (ha base 8), ovvero la radice è ottale: tra colonna e colonna la base della potenza è 8.

Possiamo prendere un numero, ad esempio  12345670 e dire che:

12345670_base8

che è identico a scrivere:

12345670 = (1 * 8⁷) + (2 * 8⁶) + (3 * 8⁵) + (4 * 8⁴) + (5 * 8³) + (6 * 8²) + (7 * 8¹) +  (0 * 8⁰ )

In una tabella:

Dato che:

Nella tabella qui sopra osserviamo che non ha più senso, in ottale, parlare di decine o centinaia: decine, centinaia, migliaia, ecc. fanno riferimento a potenze di 10. Qui abbiamo a che fare con potenze di 8. Solo sul numero covertito da ottale a decimale possiamo tornare a parlare di decine, ecc.

Chiaro ? Se non lo fosse, riprendete dall' inizio con più calma...

Una tabella di somme con le cifre ottali:

e dei prodotti:

"Ohibò !!!  7 +7 = 16 ??  e 7 * 7 = 61 ???  Ma quando mai ..."

E invece è così, gente ! Perchè stiamo contando in ottale e utilizziamo la numerazione ottale !!

Ed è semplice, se è stato compreso quanti finora detto, che:

7_base8+ 7_base8 = 16_base8

16 _base8 =  1 × 8¹ + 6 × 8⁰ = 8 + 6 = 14_{base 10}

e

7_base8* 7_base8 = 61_base8

61 _base8 =  6 × 8¹ + 1 × 8⁰ = 48 + 1 = 49_{base 10}

"E perché  le tabelline si estendono dallo 0 al 7 e mancano le altre cifre ?"

 Suvvia, non scherziamo: in ottale ci sono solo otto cifre. E il numero dopo il 7 è 10....