Decimali, Binari & C
Il sistema Binario
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Il sistema Binario.
"Ci sono solamente
10 tipi di persone nel mondo:
chi comprende il sistema binario
e chi
no"
Se concordate con questa affermazione non avete bisogno di leggere, il resto del
capitolo. Se invece non è chiaro il senso della frase, continuate a leggere.
Per inciso, il sistema "binario" non ha niente a che fare con la ferrovia, anche se l' origine della
parola contiene la radice e il senso di "due"-bi, come in binario, bipede,
bicicletta, bipolo, ecc.
| Supponiamo di aver raggiunto, con la nostra AAA
(Astronave Analitica Algebrica), un altro mondo lontano, oltre Pandora: Scorpio,
il secondo pianeta della stella doppia BIS.
Questo è un mondo dove i
nativi, piuttosto bizzarri, hanno un solo braccio, con una pinza al posto delle
dita, e vive il famoso matematico XvYzz. |
 |
Se, in un' asta, l' antico romano Caio Sempronio alzava tante dita quanti erano sesterzi
che era disposto a pagare, il nostro matematico alieno può alzare la sua pinza e al
massimo distinguere se la tiene chiusa o aperta :
Caio ha dieci possibilità - XvYzz ne ha solo due.
Però anche lui, come il matematico indiano, si fa un abaco con le buche e dice:
"un sassolino nella prima buca.
Ho esaurito le possibilità della mano-pinza. Svuoto la buca e metto
il sassolino nella seconda", e così via.
Ha inventato un sistema di conteggio basato su sole due cifre, un sistema
binario.
| Il sistema binario
è un sistema posizionale basato sul 2. |
La sua tabella sarà questa :
quinta
colonna |
quarta
colonna |
terza
colonna |
seconda
colonna |
prima
colonna |
qui la cifra
vale per 16 |
qui la cifra
vale per 8 |
qui la cifra
vale per 4 |
qui la cifra
vale per due |
qui la cifra
vale unità |
| cifra * 16 |
cifra * 8 |
cifra * 4 |
cifra * 2 |
cifra * 1 |
| cifra * 24 |
cifra * 23
|
cifra * 22 |
cifra * 21 |
cifra * 1*20 |
Il passaggio da una colonna alla successiva va secondo le potenze di 2,
che è la base del sistema binario., quindi 1, 2, 4, 8,16, 32, 64,128 e così
via.
Quando XxZvv scrive:
intende :
| Numero binario |
Cifra |
Significato |
Valore |
Valore decimale |
| 10101 |
|
|
|
|
|
1 |
= 1 volta la prima colonna |
= 1 "dito-pinza" |
= 1 * 1 = 1 |
|
0 |
= 0 volte la seconda
colonna |
= 0 volte le 2 dita-pinza |
= 0 * 2 = 0 |
|
1 |
= 1 volta la terza colonna |
= 1 volta 2 volte le 2 dita |
= 1 * 4 = 4 |
|
0 |
= 0 volta la quarta colonna |
= 0 volte 2 volte 2 volte le 2 dita |
= 0 * 8 = 0 |
|
1 |
= 1 volta la quinta colonna |
= 1 volta 2 volte 2 volte 2 volte le 2 dita |
= 1 * 16 = 16 |
|
|
|
|
1 + 0 + 4 + 16 = 21 |
che posso anche esprimere come:
10101 = (1 * 16) + (0 * 8) + (1 * 4) * (0 *2) + (1 unità,
1 * 1) = ( 1 * 24) + (0 * 23) + (1 * 22) + (0 *
21) + (1 * 20)
o anche, ricordando cosa abbiamo detto delle radici:
|
10101 base2
= 1 × 24 + 0 × 23
+ 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 16 + 4 +
1 = 21base 10
|
Se volete, potete esercitarvi a scrivere numeri binari.
Evidentemente non
sarà possibile scrivere 2 o 103 o 9018 in quanto:
| nel sistema binario solo la
cifra 1 e lo zero sono possibili. |
La tabella
seguente riporta alcuni esempi :
| Decimale |
Binario |
Ottale |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
1 |
1 |
| 2 |
10 |
2 |
| 3 |
11 |
3 |
| 4 |
100 |
4 |
| 5 |
101 |
5 |
| 6 |
110 |
6 |
| 7 |
111 |
7 |
| 8 |
1000 |
10 |
| 9 |
1001 |
11 |
| 10 |
1010 |
11 |
| 11 |
1011 |
13 |
| 12 |
1100 |
14 |
| 13 |
1101 |
15 |
| 14 |
1110 |
16 |
| 15 |
1111 |
17 |
| 16 |
10000 |
20 |
| 17 |
10001 |
21 |
Il sistema binario è:
- un sistema di numerazione: cifre rappresentano numero secondo certe
regole
- è un sistema di numerazione posizionale: le cifre hanno valore
diverso a seconda della posizione nel numero
- è basato sul due (ha base 2), ovvero la radice è binaria:
tra colonna e colonna la base della potenza è 2.
Possiamo prendere un numero, ad esempio 101010 e dire
che:
che è identico a scrivere:
10101010 =
||||||||___(0 * 20 ) +
|!!!!!!____(1 * 21) +
!!!!!!_____(0 * 22) +
!!!!!______(1 * 23) +
!!!!_______(0 * 24) +
!!!________(1 * 25) +
!!_________(0 * 26) +
!__________(1 * 27) |
In una tabella:
| colonna |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
| esponente |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
| moltiplicatore |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
21 |
20 |
| cifra del numero |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
| valore |
1*27 |
0*26 |
1*25 |
0*24 |
1*23 |
0*22 |
1*21 |
0*20 |
Dato che:
| Colonna |
Posizione |
Valore |
Moltiplicatore cifra |
Potenza |
| 8 |
7 |
Gruppi di 128 |
128 |
27 |
| 7 |
6 |
Gruppi di 64 |
64 |
26 |
| 6 |
5 |
Gruppi di 32 |
32 |
25 |
| 5 |
4 |
Gruppi di 16 |
16 |
24 |
| 4 |
3 |
Gruppi di 8 |
8 |
23 |
| 3 |
2 |
Gruppi di 4 |
4 |
22 |
| 2 |
1 |
Gruppi di 2 |
8 |
21 |
| 1 |
0 |
UNITA' |
1 |
20 |
Nella tabella qui sopra osserviamo che non ha più senso, in binario, parlare
di decine o centinaia: decine, centinaia, migliaia, ecc. fanno riferimento a
potenze di 10. Qui abbiamo a che fare con potenze di 2. Solo sul numero convertito
a decimale possiamo tornare a parlare di decine, ecc.
Chiaro ? Se non lo fosse, riprendete dall' inizio con più calma
Una tabella di somme con le cifre binarie è ben piccola, dato che ci sono
solo due cifre:
| base 2 - Somma |
| + |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
1 |
| 1 |
1 |
10 |
e dei prodotti:
| base 2 - Moltiplicazione |
| x |
0 |
1 |
| 0 |
0 |
0 |
| 1 |
0 |
1 |
"Ohibò !!! 1 +1 = 10 ??"
Certo, stiamo contando in binario e
utilizziamo la numerazione binaria !!
Ed è semplice, se è stato compreso quanti finora detto,
che:
|
1base2 + 1base2 =
10base2
|
e:
| 10 base2
= 1 × 21
+ 0 × 80 = 2 + 0 = 2base 10 |
Il che chiarisce il detto con cui è cominciato questo capitolo...
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