Formalizzazioni...

Piccola parentesi per i matematici. Possiamo generalizzare quanto detto finora :

1. Un sistema di numerazione è un insieme di regole e simboli il cui utilizzo permette di rappresentare delle quantità.
    
2. In un sistema posizionale ogni numero è rappresentato con una sequenza di simboli, di cifre, il cui valore varia secondo la posizione nella scrittura e secondo le potenze di un certo coefficiente detto base
   
3. Un sistema con una base definita avere: 

- un numero maggiore di uno che costituisce la base B 
- un insieme di simboli S che rappresentano i numeri a partire da zero fino al numero B-1, per un totale di B simboli
- una scrittura delle cifre ordinate per n colonne in ciascuna delle quali la cifra S assume un valore determinato dalla posizione e dalla relativa potenza di B.
 

Tutti i sistemi di numerazione posizionale a base fissa, indipendentemente dalla base:

 - sono sistemi non ridondanti: non vi sono sequenze di simboli che non rappresentano alcun numero
 - sono a rango illimitato: ogni numero può essere rappresentato, indipendentemente dalla sua grandezza
 - sono a rappresentazione unica: ogni numero ha una sola rappresentazione, costituita da un insieme ordinato di cifre.

Se ne può dedurre che è ben possibile creare sistemi di numerazione con qualsiasi base, da 2 a infinito, senza con questo fare alcuna operazione straordinaria o strana.

Chiusa parentesi.

Operazioni binarie

Sui numeri binari posso effettuare operazioni aritmetiche (somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione), anche in colonna, dato che si tratta di un sistema posizionale. Le regole sono quelle del sistema decimale. Essendoci solo due cifre, oltretutto, la cosa è molto semplificata :

:

Possiamo moltiplicare, dividere e aggiungere che il sistema binario si presta ad alcuni trucchi che, peraltro, sono presenti identicamente anche nel sistema decimale, cambiando solo la base.

Ad esempio, se spostiamo verso destra le cifre di un numero decimale lo dividiamo per 10 tante volte quante lo spostiamo. Ad esempio, facciamo scorrere verso destra il numero 10000, buttando via le cifre che facciamo traboccare a destra oltre la prima colonna. L'opposto se faccio scorrere a sinistra.

Analogamente nel sistema binario, solo che la base è due e non dieci.

Ecco un modo rapido per fare moltiplicazioni e divisioni. Questo genere di operazioni prende il nome di SHIFT e diventa molto utile in numerose occasioni, tanto che il set di istruzione dei processore ne contiene due o più varianti.

Non ci interessa in questa sede cosa succede alla colonna -1, dove la numerazione decimale introduce la virgola; questo fa parte dell' argomento"numeri in virgola mobile", che potremo trattare altrove. Per ora il nostro discorso si rivolge solo a numeri interi.

Inoltre, in sistemi non decimali, come quello binario, non è pratico nè sensato usare la virgole e si impiegano altre convenzioni. La ragione è semplice: il binario serve al lavoro della macchina, non al nostro, e gli algoritmi e le convenzioni devono scegliere le vie adeguate per rendere funzionale il lavoro della macchina. Alla fine dell' elaborazione, se necessario, il risultato binario sarà convertito in decimale perchè lo si possa leggere e comprendere rapidamente.

Quello che è importante capire qui è che i principi su cui si basa un sistema posizionale sono analoghi qualunque sia la base che adottiamo.

Non facciamo esercitazioni sul binario: queste sono utili a scuola per smuovere la mente. Se volete provare a fare un po' di esercizi, molto meglio per voi. 
Qui riteniamo che, una volta compreso il principio, non esiste alcuna necessità di calcolare a mano le conversioni tra numeri decimali e numeri binari o fare aritmetica binaria; sarebbe un inutile perdita di tempo, un lavoro che può essere svolto molto più efficacemente (è il loro lavoro !) dalle macchine. 

In relazione a questo è molto, molto opportuno che, se non ne avete mai approfittato, impariate ad usare questa Calcolatrice ( e, se non questa, una delle tante che il WEB offre gratuitamente).

Precisiamo però che "compreso il principio" è la chiave fondamentale: leggete il racconto "Nove volte sette" di Asimov  ed avete un esempio di quello che si vuole dire qui e che si può sintetizzare con la frase

 "usare senza capire non porta lontano".

Quello che si può aggiungere è che, nel sistema binario, sono applicati, oltre alle operazioni aritmetiche, alcuni operatori logici (AND, NAND, NOR, OR, EXOR, NOT) che non hanno molto senso nel sistema decimale e che invece sono fondamentali nella logica booleana e nella struttura del funzionamento del computer.
Vedremo queste operazioni in un altro capitolo.

Ovviamente con Calcolatrice si possono fare operazioni anche con il sistema ottale e altro, ma per ora torniamo ai nostri bit e proviamo a osservarli da altri punti di vista.