Decimali, Binari & C

Ma lasciamo il pianeta Scorpio e il dr. XvYzz e risaliamo sulla nostra AAA (Astronave Analitica Algebrica), per passare sul pianeta HEX, sedicesimo pianeta della stella XVI, dove gli abitanti hanno due mani con otto dita per ogni mano. 

Il loro equivalente del nostro matematico indù procede nello stesso modo: scava la prima buca, ci mette sassolini fino a 15, poi svuota la buca e ne mette uno nella seconda, che ora indica "una volta 16 dita". E così via.

Il suo sistema, basato sul sedici, si chiama esadecimale, per gli amici abbreviato in hex o HEX (da hexadecimal).
Quindi:

La sua tabella sarà questa :

Ora il passaggio da una colonna alla successiva va secondo le potenze di 16, che è la base del sistema esadecimale. 

Quando in esadecimale scrivo:

intendo :

che posso anche esprimere come:

Se volete, potete esercitarvi a scrivere numeri esadecimali, ma prima vi occorre qualcos'altro.

Il nostro matematico del pianeta HEX usa 16 cifre e, per i buoni rapporti intergalattici, sceglie di usare le nostre cifre arabo-indiane. 

Ma c'è un problema: queste cifre sono solo 10 (da 0 a 9). E le altre 6 ? 

Beh, il nostro è un tipo ingegnoso e per le sei che mancano usa le prime sei lettere dell' alfabeto, da A a F. (abbiamo visto all' inizio che usare lettere come numeri non è una cosa campata in aria, ma di una pratica esistente da millenni. Quindi, niente di strano).

Dunque, i numeri esadecimali saranno scritti con un miscuglio di simbolo numerici e letterali :

Se facciamo mente locale alle buche e ai sassolini, la prima buca è piena di 15 sassolini, numero rappresentato dalla cifra F.
Ora conto uno in più : svuoto la prima buca e aggiungo un sassolino alla seconda buca, che vuol dire "contate una volta le sedici dita"; e questo lo rappresento con 10, un sassolino nella seconda colonna, zero sassolini nella prima. 
Avanzando il conteggio, quando ho quindici sassolini nella prima e ne devo aggiungere un' altro, svuoto la buca, aggiungo in sassolino nella seconda e da 1F passo a 20: due volte 16 dita, più zero dita.

Avendo un elevato numero di cifre, il sistema esadecimale da origine a scritture compatte. 
Ad esempio 2010 decimale diventa 7DA e 1211789 diventa 127D8D.

Il sistema esadecimale è 

• un sistema di numerazione: cifre rappresentano numero secondo certe regole
• è un sistema di numerazione posizionale: le cifre hanno valore diverso a seconda della posizione nel numero
• è basato sul sedici (ha base 16), ovvero la radice è esadecimale: tra colonna e colonna la base della potenza è 16.

Possiamo prendere un numero esadecimale, ad esempio AA  e dire che:

che, convertito in decimale:

Ora una tabella per il numero 10101010_base16:

Dato che:

Nella tabella qui sopra osserviamo che non ha più senso, in esadecimale, parlare di decine o centinaia: decine, centinaia, migliaia, ecc. fanno riferimento a potenze di 10. Qui abbiamo a che fare con potenze di 16. Solo sul numero convertito a decimale possiamo tornare a parlare di decine, ecc.

Chiaro ? Se non lo fosse, riprendete dall' inizio con più calma...

Una tabellina di somme con le cifre esadecimali:

e di prodotti:

Ricordare che stiamo contando in hex e utilizziamo la numerazione esadecimale !!

Ed è semplice, se è stato compreso quanti finora detto, che:

14_base16  =  1 × 16¹ + 4 × 16⁰ = 16 + 4 = 20_{base 10}

e:

51_base16  =  5 × 16¹ + 1 × 16⁰ = 80 + 1 = 81_{base 10}

Ovviamente posso convertire l' esadecimale in decimale, ottale, binario e viceversa.
Anche qui, una volta compreso il principio, però non esiste alcuna necessità di calcolare a mano le conversioni : Calcolatrice fa questo per noi. 

L' importante è aver compreso il principio e saperlo applicare dove e quando serve. Comunque, qualche esempio non guasta, ma lo vediamo più avanti.
Piuttosto che fare conversioni, affrontiamo un altro passaggio importante.